Олександр Аніщенко народився в Сумах. Навчався у Сумській середній школі № 4. З 1987 по 1993 навчався у Сумському державному педагогічному інституті на факультеті фізичного виховання. Під час навчання працював у 4 школі вчителем фізичної культури.
З 1990 року по 1992 - працював у воєнізованій пожежній частині № 7 міста Суми. Військову службу у Службі безпеки України проходив з 1993 року.
У 2006 році охороняв новообраного мера Сум Геннадія Мінаєва[1].
З 2008 року обіймав посаду заступника начальника відділу Центру спеціальних операцій боротьби з тероризмом і захисту учасників кримінального судочинства та працівників правоохоронних органів Служби безпеки України в Управлінні Служби безпеки України в Сумській області.
На момент загибелі обіймав посаду заступника начальника підрозділу спеціального призначення «Альфа», однак стало відомо, що документи про його призначення начальником сумської «Альфи» були майже готові. За словами рідних, Олександр вважався одним з найкращих снайперів України.
Під час київського Євромайдану у лютому 2014 серед силовиків, що отримали наказ стріляти у мітингувальників, Аніщенко відмовився брати участь у спецоперації та написав рапорт, який, фактично, означав його звільнення з силових структур. Втім, після втечі Януковича до РФ, прийнято рішення залишити Олександра Аніщенка та інших бійців-«саботажників» сумської «Альфи» на службі.
5 травня 2014 року Олександр Аніщенко загинув під Слов'янськом в бою з представниками терористичної організації «ДНР» та російськими найманцями. Близько 14:00 в селі Семенівка під час проведення спеціального заходу моторизована група потрапила у засідку. У ході бою, тривалістю більше години, під вогнем, маючи численні поранення, Аніщенко продовжував вести вогонь. Він намагався захистити поранених товаришів, прикривши їх від під пострілу з гранатомета, внаслідок чого Олександра розірвало на шматки.
7 травня 2014 року офіцера поховали на Алеї почесних громадян центрального кладовища Сум. У Аніщенка залишилася дружина, донька та літні батьки.